Bài 62 trang 102 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Giải và biện luận các hệ phương trình

a)

\(\left\{ \matrix{
x + y = 4 \hfill \cr
xy = m \hfill \cr} \right.\)

b) 

\(\left\{ \matrix{
3x - 2y = 1 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = m \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) Theo định lý Vi-ét đảo, x và y là nghiệm của hệ phương trình:

z² – 4z + m = 0  (1)

Ta có:  Δ’ = 4 – m

Do đó:

+ Nếu m > 4 thì Δ’ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm

+ Nếu m = 4 thì Δ’ = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm kép z = 2 nên hệ đã cho có một nghiệm duy nhất \((x, y) = (2, 2)\)

+ Nếu m < 4 thì Δ’ > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(z = 2 \pm \sqrt {4 - m} \) nên hệ đã cho có hai nghiệm:

\(\left\{ \matrix{
x = 2 - \sqrt {4 - m} \hfill \cr
y = 2 + \sqrt {4 - m} \hfill \cr} \right. \text{ và } \left\{ \matrix{
x = 2 + \sqrt {4 - m} \hfill \cr
y = 2 - \sqrt {4 - m} \hfill \cr} \right.\) 

b) Ta có:

\(\left\{ \matrix{
3x - 2y = 1 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2y = 3x - 1 \hfill \cr
4{x^2} + 4{y^2} = 4m \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2y = 3x - 1 \hfill \cr
4{x^2} + {(3x - 1)^2} = 4m \hfill \cr} \right.\) 

Xét riêng phương trình 4x² + (3x – 1)² = 4m ⇔ 13x² – 6x – 4m + 1= 0 (2)

Phương trình (2) có biệt thức thu gọn Δ’ = 4(13m – 1).

Do đó:

+ Nếu \(m < {1 \over {13}} \Rightarrow \Delta ' < 0\) , phương trình (2) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.

+ Nếu \(m = {1 \over {13}} \Rightarrow \Delta ' = 0\) , phương trình (2) có một nghiệm \(x = {3 \over {13}}\) nên hệ có nghiệm là

+ Nếu \(m > {1 \over {13}} \Rightarrow \Delta ' > 0\) thì phương trình (2) có hai nghiệm: \({x_{1,2}} = {{3 \pm 2\sqrt {13m - 1} } \over {13}}\) , nên hệ có hai nghiệm như sau:

\(\eqalign{
& ({x_1},{y_1}) = ({{3 - 2\sqrt {13m - 1} } \over {13}};\,{{ - 2 - 3\sqrt {13m - 1} } \over {13}}) \cr
& ({x_2},{y_2})\, = \,({{3 + 2\sqrt {13m - 1} } \over {13}};\,{{ - 2 + 3\sqrt {13m - 1} } \over {13}}) \cr} \)