Bài 76 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Chứng minh các bất đẳng thức

a) \(|a + b| < |1 + ab|\) với \(|a| < 1; |b| < 1\)

b) \(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \ge \dfrac{1}{2}\)

với mọi n ∈ N*

c) \(\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}} \le \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}\) với mọi \(a ≥ 0; b ≥ 0\). Khi nào có đẳng thức?

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

 \(|a + b| < |1 + ab|\)\(  ⇔ (a + b)^2 < (1 + ab)^2\)

\(⇔ a^2b^2 – a^2 – b^2 + 1 > 0\) \(⇔ a^2(b^2 – 1) – (b^2 – 1) > 0\)

\(⇔ (a^2 – 1)(b^2 – 1) > 0\)  (luôn đúng vì \(a^2 < 1\) và \(b^2 < 1\))

Vậy với \(|a| < 1; |b| < 1\) thì \(|a + b| < |1 + ab|\)

b) Ta có:

\(\dfrac{1}{{n + 1}} \ge \dfrac{1}{{2n}};\)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{1}{{n + 2}} \ge \dfrac{1}{{2n}};\)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} .....;\)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{1}{{2n}}\)\( = \dfrac{1}{{2n}}\)

Do đó:

\(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \)\(\ge \underbrace {\dfrac{1}{{2n}} + \dfrac{1}{{2n}} + .... + \dfrac{1}{{2n}}}_n \)\(\Rightarrow \dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \ge \)\(n\dfrac{1}{{2n}} = \dfrac{1}{2}\)

Vậy ta được điều phải chứng minh.

c) Vì a ≥ 0; b ≥ 0 nên:

\(\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}}\)\( = \dfrac{a}{{1 + a + b}} + \dfrac{b}{{1 + a + b}} \le\)\( \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 0\)