Bài 83 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Tìm các giá trị của m sao cho R là tập nghiệm của mỗi bất phương trình:

a) (m - 4)x² - (m - 6)x + m – 5 ≤ 0

b) (m² - 1)x² + 2(m + 1)x + 3 > 0

Hướng dẫn giải

a)

+ Với m = 4, bất phương trình thành: 2x – 1 ≤  0, không thỏa mãn điều kiện với mọi x

+ Với m ≠ 4. : (m - 4)x² - (m - 6)x + m – 5 ≤ 0, ∀x

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
m - 4 < 0 \hfill \cr
\Delta = {(m - 6)^2} - 4(m - 4)(m - 5) \le 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m < 4 \hfill \cr
- 3{m^2} + 24m - 44 \le 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m < 4 \hfill \cr
\left[ \matrix{
m \le 4 - {{2\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr
m \ge 4 + {{2\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m \le 4 - {{2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)

b)

+ Với m = 1, bất phương trình trở thành 4x + 3 > 0 , không thỏa mãn với mọi x

+ Với m = -1, bất phương trình trở thành 3> 0 thỏa mãn với mọi x

+ Với m ≠ -1, (m² - 1)x² + 2(m + 1) + 3 > 0 ∀x

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{m^2} - 1 > 0 \hfill \cr
\Delta ' = {(m + 1)^2} - 3({m^2} - 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
m < - 1 \hfill \cr
m > 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
- 2{m^2} + 2m + 4 < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
m < - 1 \hfill \cr
m > 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left[ \matrix{
m < - 1 \hfill \cr
m > 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m < - 1 \hfill \cr
m > 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy với m ≤ -1 hoặc m > 2 thì bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \(\mathbb R\)