Bài 78 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) \(f(x) = |x + {1 \over x}|\)

b) \(g(x) = {{{x^2} + 2} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

Hướng dẫn giải

a) Vì với mọi x ≠ 0; x và \({1 \over x}\)  cùng dấu nên:

\(f(x) = |x + {1 \over x}|\, = \,|x| + {1 \over {|x|}} \ge 2\sqrt {|x|.{1 \over {|x|}}}  = 2\) với mọi x ≠ 0

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(|x|\, = \,{1 \over {|x|}} \Leftrightarrow \,|x|\, = 1\, \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 2.

b) Với mọi x ∈ R, ta có:

\( g(x) = {{{x^2} + 1} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} + {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \)
\(\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} .{1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}}=2\) (theo bất đẳng thức Cô-si)

\(g(x) = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  = {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của g(x) là 2.