Bài 4 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Chứng minh rằng \(sin2(x + kπ) = sin 2x\) với mọi số nguyên \(k\). Từ đó vẽ đồ thị hàm số \(y = sin2x\).

Hướng dẫn giải

Dựa vào tính tuần hoàn và chu kì của hàm số \(y = \sin x\): Hàm \(y = \sin x\) là hàm tuần hoàn với chu kì \(2\pi\).

Lời giải chi tiết

Hàm \(y = \sin x\) là hàm tuần hoàn với chu kì \(2\pi\) nên ta có: 

\(\sin 2\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {2x + k2\pi } \right) = \sin 2x\,\,\forall k \in Z\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \sin 2x\\\Rightarrow f\left( {x + \pi } \right) = \sin 2\left( {x + \pi } \right) \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sin \left( {2x + k2\pi } \right) = \sin 2x = f\left( x \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y=sin2x\) tuần là hàm tuần hoàn với chu kì \(\pi\).

Do tính chất trên, để vẽ đồ thị của hàm số \(y = sin2x\), chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên một đoạn có độ dài \(π\) (Chẳng hạn đoạn \(\left[ { - {\pi  \over 2};{\pi  \over 2}} \right]\)), rồi lại tịnh tiến dọc theo trục hoành sang bên phải và bên trái từng đoạn có độ dài \(π\) .

Khi \(x = 2x_0 \Rightarrow sinx = sin2x_0\) do đó với mỗi điểm \(M\left( {x;\sin x} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(M\left( {x;\sin x} \right)\) thì điểm \(M'\left( {{x_0};\sin 2{x_0}} \right)\) tương ứng thuộc đồ thị hàm số \(y=sin2x \), \(M;M'\) có tung độ bằng nhau nhưng hoành độ của \(M’\) bằng một nửa hoành độ của \(M\). Từ đó ta thấy có thể suy ra \(y=sin2x\,\, (C')\) từ \(y=sinx\,\, (C)\) bằng cách “co” \((C)\) dọc theo trục hoành như sau :

   Với mỗi \(M(x ; y) ∈ (C)\) , gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) xuống trục \(Oy\) và \(M’\) là trung điểm của đoạn \(HM\) thì \(M’\) \(\left( {{x \over 2};y} \right)\) \(∈ (C’)\) (khi \(M\) vạch trên \((C)\) thì \(M’\) vạch trên \((C’))\).

Trong thực hành, ta chỉ cần nối các điểm đặc biệt của \((C’)\) (các điểm \(M’\) ứng với các điểm \(M\) của \((C)\) với hoành độ \(\in \left\{ {0;\,\, \pm {\pi  \over 6};\,\, \pm {\pi  \over 4};\,\, \pm {\pi  \over 3};\,\, \pm {\pi  \over 2}} \right\}\) ) ta được đồ thị hàm số \(y=sin2x\) như sau: