Bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Giải các phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
a)\,\,\sin \left( {x + 2} \right) = \frac{1}{3}\\
b)\,\,\sin 3x = 1\\
c)\,\,\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\\
d)\,\,\sin \left( {2x + {{20}^0}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}
\end{array}\)

Hướng dẫn giải

\(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k2\pi \\
x = \pi - \alpha + k2\pi
\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
a)\,\,\sin \left( {x + 2} \right) = \frac{1}{3}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 2 = \arcsin \frac{1}{3} + k2\pi \\
x + 2 = \pi - \arcsin \frac{1}{3} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \arcsin \frac{1}{3} - 2 + k2\pi \\
x = \pi - \arcsin \frac{1}{3} - 2 + k2\pi
\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi (k\in \mathbb{Z})\) hoặc \(x=\pi - arcsin \frac{1}{3}-2+k2 \pi (k\in \mathbb{Z})\)

\(\begin{array}{l}
b)\,\,\sin 3x = 1\\
\Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2 \pi}{3},(k\in \mathbb{Z})\)

\(\begin{array}{l}
c)\,\,\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\\
\Rightarrow \frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3} = k\pi \\
\Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + \frac{{3k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\frac{\pi }{2}+k.\frac{3\pi }{2}, k\in Z\)

\(\begin{array}{l}
d)\,\,\sin \left( {2x + {{20}^0}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + {{20}^0}} \right) = \sin \left( { - {{60}^0}} \right)\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + {20^0} = - {60^0} + k{360^0}\\
2x + {20^0} = {180^0} + {60^0} + k{360^0}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = - {80^0} + k{360^0}\\
2x = {220^0} + k{360^0}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - {40^0} + k{180^0}\\
x = {110^0} + k{180^0}
\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=-40^0+k180^0, (k\in \mathbb{Z})\) hoặc \(x=110^0+k180^0, (k\in \mathbb{Z})\)