Bài 7 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Giải các phương trình sau:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\sin 3x - \cos 5x = 0\\b)\,\,\tan 3x\tan x = 1\end{array}\)

Hướng dẫn giải

a) Chuyển vế, sử dụng công thức \(\sin x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) đưa phương trình về dạng \(\cos \alpha = \cos \beta \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha = \beta + k2\pi \\\alpha = - \beta + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\).

b) Tìm ĐKXĐ.

Sử dụng các công thức: \(\frac{1}{{\tan x}} = \cot x = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\) đưa phương trình về dạng \(\tan \alpha  = \tan \beta  \Leftrightarrow \alpha  = \beta  + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)\,\,\sin 3x - \cos 5x = 0\\\Leftrightarrow \sin 3x = \cos 5x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right)\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \\5x = - \frac{\pi }{2} + 3x + k2\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}\\x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm phương trình là: \(x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4} (k\in Z)\) và \(x=-\frac{\pi }{4} +k\pi, (k\in \mathbb{Z})\)

b) Điều kiện: 

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Rightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\tan 3x\tan x = 1\\\Leftrightarrow \tan 3x = \frac{1}{{\tan x}} = \cot x =\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\\\Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} - x + k\pi \\\Leftrightarrow 4x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm phương trình là \(x=\frac{\pi }{8}+\frac{k \pi }{4}, k \in \mathbb{Z}\).