Bài 8 trang 90 SGK Giải tích 12

Đề bài

Giải các bất phương trình

a) \({2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\)

b) \({\left( {0,4} \right)^x}-{\rm{ }}{\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\)

c) \({\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1\)

d) \({\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x <  - 6\)

Hướng dẫn giải

a) Đặt nhân tử chung \(2^{2x-3}\), đưa bất phương trình mũ về dạng cơ bản: 

\({a^x} \ge b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\x \ge {\log _a}b\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\x \le {\log _a}b\end{array} \right.\end{array} \right.\)

b) Đặt ẩn phụ \(t = {\left( {0,4} \right)^x}\), để ý rằng: \(0,4.2,5 = 1 \Rightarrow {\left( {0,4} \right)^x}.{\left( {2,5} \right)^x} = 1 \Rightarrow {\left( {2,5} \right)^x} = \frac{1}{{{{\left( {0,4} \right)}^x}}}\).

c) Giải bất phương trình logarit cơ bản:

\({\log _a}f\left( x \right) < b \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\f\left( x \right) < {a^b}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\f\left( x \right) > {a^b}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

d) Đặt ẩn phụ \(t = {\log _{0,2}}x\).

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)\,\,\,{2^{2x - 1}} + {2^{2x - 2}} + {2^{2x - 3}} \ge 448\\\Leftrightarrow {2^{2x - 3}}{.2^2} + {2^{2x - 3}}{.2^1} + {2^{2x - 3}} \ge 448\\\Leftrightarrow {2^{2x - 3}}\left( {4 + 2 + 1} \right) \ge 448\\\Leftrightarrow {7.2^{2x - 3}} \ge 448\\\Leftrightarrow {2^{2x - 3}} \ge 64\\\Leftrightarrow 2x - 3 \ge {\log _2}64 = 6\\\Leftrightarrow x \ge \frac{9}{2}\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S=[{{9}\over {2}}; +∞)\).

\(\begin{array}{l}b)\,\,{\left( {0,4} \right)^x} - {\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > 1,5\\\Leftrightarrow {\left( {0,4} \right)^x} - 2,5.{\left( {2,5} \right)^x} > 1,5\\\Leftrightarrow {\left( {0,4} \right)^x} - 2,5.\frac{1}{{{{\left( {0,4} \right)}^x}}} > 1,5\end{array}\)

Đặt \(t = {(0,4)}^x> 0\), bất phương trình đã cho trở thành:

\(\eqalign{
& t - {{2,5} \over t} > 1,5 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 5 > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t < - 1 \hfill \cr
t > 2,5 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Do \(t = {(0,4)}^x> 0\), bất phương trình đã cho tương đương với:

\({\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}2,5{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }} - 1\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right)\).

c) ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) > 0\\{x^2} - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} = 1\\{x^2} - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left( { - \sqrt 2 ;1} \right) \cup \left( {1;\sqrt 2 } \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\log _3}\left[ {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right)} \right] < 1\\\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) < {3^1} = 3\,\,\left( {Do\,3 > 1} \right)\\\Leftrightarrow {x^2} - 1 > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} = \frac{1}{8}\,\,\left( {Do\,\,0 < \,\frac{1}{2} < 1} \right)\\\Leftrightarrow {x^2} > \frac{9}{8}\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \frac{3}{{2\sqrt 2 }}\\x < - \frac{3}{{2\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array}\).

Kết hợp điều kiện ta có: \(x \in \left( { - \sqrt 2 ; - \frac{3}{{2\sqrt 2 }}} \right) \cup \left( {\frac{3}{{2\sqrt 2 }};\sqrt 2 } \right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( { - \sqrt 2 ; - \frac{3}{{2\sqrt 2 }}} \right) \cup \left( {\frac{3}{{2\sqrt 2 }};\sqrt 2 } \right)\).

d) \({\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x <  - 6\)

ĐK: \(x>0\).

Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_{0,2}}x\). Bất phương trình trở thành

\({t^2}-{\rm{ }}5t{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} < {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2{\rm{ }} < {\rm{ }}t{\rm{ }} < {\rm{ }}3\)

Suy ra:  

\(\eqalign{
& (1) ⇔2 < {\log _{0,2}}x < 3 \Leftrightarrow {(0,2)^3} < x < {(0,2)^2} \cr
& \Leftrightarrow {1 \over {125}} < x < {1 \over {25}}(tm \,\, x>0) \cr} \)               

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left({1 \over {125}},{1 \over {25}}\right)\)