Bài 86 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao

Đề bài

Bài 86. Tính:

         \(a)\,A = {9^{2{{\log }_3}4 + 4{{\log }_{81}}2}}\)                                                         

         \(b)\,B = {\log _a}\left( {{{{a^2}.\root 3 \of a .\root 5 \of {{a^4}} } \over {\root 4 \of a }}} \right)\)

         \(c)\,\,C = {\log _5}{\log _5}\root 5 \of {\root 5 \of {\root 5 \of {....\root 5 \of 5 } } } \)    

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng \({\log _{{a^\alpha }}}{b^\beta } = {\beta  \over \alpha }{\log _a}b\) (với \(a > 0, b>0\) và \(a \ne 1\)) và \({a^{{{\log }_a}b}} = b\)

Ta có: 

\(\eqalign{
& 2{\log _3}4 + 4{\log _{81}}2 = {4 \over 2}{\log _3}4 + 2{\log _9}2 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\log _9}{4^4} + {\log _9}{2^2} = {\log _9}{2^{10}} \cr} \)                      

Do đó \(A = {9^{{{\log }_9}{2^{10}}}} = {2^{10}} = 1024\)

b) Ta có \({{{a^2}.\root 3 \of a .\root 5 \of {{a^4}} } \over {\root 4 \of a }} = {a^{2 + {1 \over 3} + {4 \over 5} - {1 \over 4}}} = {a^{{{173} \over {60}}}}\)

Do đó: \(B = {\log _a}{a^{{{173} \over {60}}}} = {{173} \over {60}}\)

c) Ta có \(\root 5 \of {\root 5 \of {\root 5 \of {....\root 5 \of 5 } } }  = {5^{{{\left( {{1 \over 5}} \right)}^n}}} \Rightarrow {\log _5}\root 5 \of {\root 5 \of {\root 5 \of {....\root 5 \of 5 } } }  = {\left( {{1 \over 5}} \right)^n} = {5^{ - n}}\)

\( \Rightarrow C =  - n\)