Bài 24 trang 102 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 24. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

b) Các đường thẳng đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) (với \({x_0}.{y_0}.{z_0} \ne 0\)) và song song với mỗi trục tọa độ;

c) Đường thẳng đi qua \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;3;5} \right)\);

d) Đường thẳng đi qua \(N\left( { - 2;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {0;0; - 3} \right)\);

e) Đường thẳng đi qua \(N\left( {3;2;1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(2x - 5y + 4 = 0\);

g) Đường thẳng đi qua \(P\left( {2;3; - 1} \right)\) và \(Q\left( {1;2;4} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\) nên có phương trình tham số là 

\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right.\)

Tương tự, trục Oy có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right.\)

Trục Oz có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = t \hfill \cr} \right.\)

Các phương trình đó không có phương trình chính tắc.

b) Đường thẳng đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) song song với trục Ox có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\) nên có phương trình tham số là 

\(\left\{ \matrix{
x = {x_0} + t \hfill \cr
y = {y_0} \hfill \cr
z = {z_0} \hfill \cr} \right.\)

Tương tự đường thẳng đi qua \({M_0}\) với trục Oy có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{
x = {x_0} \hfill \cr 
y = {y_0} + t \hfill \cr 
z = {z_0} \hfill \cr} \right.\)

Đường thẳng đi qua \({M_0}\) với trục Oz có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = {x_0} \hfill \cr
y = {y_0} \hfill \cr
z = {z_0} + t \hfill \cr} \right.\)

Các đường thẳng trên không có phương trình chính tắc.

c) Đường thẳng đi qua \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) có vectơ chỉ phương có phương trình tham số: \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;3;5} \right)\) Tương tự đường thẳng đi qua \({M_0}\) với trục Oy có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 2 - t \hfill \cr
y = 3t \hfill \cr
z = - 1 + 5t \hfill \cr} \right.\) và có phương trình chính tắc \({{x - 2} \over { - 1}} = {y \over 3} = {{z + 1} \over 5}\).

d) Đường thẳng đi qua \(N\left( { - 2;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {0;0; - 3} \right)\) có phương trình tham số

\(\left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr
z = 2 - 3t \hfill \cr} \right.\)

Không có phương trình chính tắc.

e) Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) của đường thẳng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(2x - 5y + 4 = 0\) nên \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 5;0} \right)\).

Vậy đường thẳng có phương trình tham số

\(\left\{ \matrix{
x = 3 + 2t \hfill \cr
y = 2 - 5t \hfill \cr
z = 1 \hfill \cr} \right.\)

Không có phương trình chính tắc.

g) Đường thẳng đi qua \(P\left( {2;3; - 1} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 1; - 1;5} \right)\) nên có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 2 - t \hfill \cr
y = 3 - t \hfill \cr
z = - 1 + 5t \hfill \cr} \right.\)

và có phương trình chính tắc là \({{x - 2} \over { - 1}} = {{y - 3} \over { - 1}} = {{z + 1} \over 5}\)