Bài 34 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 34

a) Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 1) đến đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \({{x + 2} \over 1} = {{y - 1} \over 2} = {{z + 1} \over { - 2}}\).
b) Tính khoảng cách từ điểm \(N\left( {2;3; - 1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \({M_0}\left( { - {1 \over 2};0; - {3 \over 4}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 4;2; - 1} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}\left( { - 2;1; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;2; - 2} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M}  = \left( {4;2;2} \right)\,;\,\,\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{M_0}M} } \right] = \left( {8; - 10; - 6} \right)\).
Vậy khoảng cách cần tìm là \(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{M_0}M} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|}} = {{\sqrt {{8^2} + {{(-10)}^2} + {(-6)^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {(-2)^2}} }} = {{10\sqrt 2 } \over 3}\).
b) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}N}  = \left( {{5 \over 2};3; - {1 \over 4}} \right)\,\,;\,\,\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{M_0}N} } \right] = \left( {{5 \over 2}; - {7 \over 2};17} \right)\).
Vậy khoảng cách cần tìm là:

\(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{M_0}N} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|}} = {{\sqrt {{{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} + {{\left( {{-7 \over 2}} \right)}^2} + {{17}^2}} } \over {\sqrt {{4^2} + {2^2} + {1^2}} }} = {{\sqrt {2870} } \over {14}}\)