Bài 30 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao

Lý thuyết Bài tập

Tóm tắt bài

Đề bài

Bài 30. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \({d_1}\) và cắt cả hai đường thẳng \({d_2}\) và \({d_3}\), biết phương trình của \({d_1},{d_2}\) và \({d_3}\) là:

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = {- 2 + 4t} \hfill \cr
z ={ 1 - t} \hfill \cr} \right.\)
\( {d_2}:{{x - 1} \over 1} = {{y + 2} \over 4} = {{z - 2} \over 3}\)
\( {d_3}:\left\{ \matrix{
x ={ - 4 + 5t'} \hfill \cr
y = {- 7 + 9t'} \hfill \cr
z = {t'} \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \({\overrightarrow u _1} = \left( {0;4; - 1} \right)\), \({d_2}\) có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = - 2 + 4t \hfill \cr
z = 2 + 3t \hfill \cr} \right.\)

Lấy điểm \({M_2}\left( {1 + t; - 2 + 4t;2 + 3t} \right)\) trên \({d_2}\) và \({M_3}\left( { - 4 + 5t'; - 7 + 9t';t'} \right)\) trên \({d_3}\). Ta tìm t và t’ để \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \).
Ta có \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}}  = \left( { - 5 + 5t' - t; - 5 + 9t' - 4t; - 2 + t' - 3t} \right)\), \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \) khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
- 5 + 5t' - t = 0 \hfill \cr
{{ - 5 + 9t' - 4t} \over 4} = {{ - 2 + t' - 3t} \over { - 1}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t' = 1 \hfill \cr} \right.\)

Khi đó \({M_2}\left( {1; - 2;2} \right)\) và \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}}  = \left( {0;4; - 1} \right)\).
Vậy \(\Delta \) qua \({M_2},{M_3}\) có phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = - 2 + 4t \hfill \cr
z = 2 - t \hfill \cr} \right.\).

Rõ ràng \({M_2} \notin {d_1}\). Vậy \(\Delta \) chính là đường thẳng cần tìm.


Copyright © 2021 HOCTAP247