Bài 33 trang 104 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 33. Cho đường thẳng \(\Delta \) và mp(P) có phương trình:
\(\Delta :{{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over 2} = {{z - 3} \over 2}\,\,;\,\,\left( P \right):2x + z - 5 = 0\).
a) Xác định tọa độ giao điểm A của \(\Delta \) và (P).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với \(\Delta \).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình tham số của \(\Delta \) là:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 2 + 2t \hfill \cr
z = 3 + 2t \hfill \cr} \right.\).

Thay x, y, z vào phương trình của mp(P) ta được:
\(2\left( {1 + t} \right) + 3 + 2t - 5 = 0 \Leftrightarrow t = 0\).
Vậy giao điểm của \(\Delta \) và mp(P) là A(1; 2; 3).

b) Gọi d là đường thẳng đi qua A nằm trong (P) và vuông góc với \(\Delta \). Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} \) của d phải vuông góc với chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;2;2} \right)\) của \(\Delta \) đồng thời vuông góc với cả vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;0;1} \right)\) của (P) nên ta chọn \(\overrightarrow {u'}  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( {2;3; - 4} \right)\).
Vậy d có phương trình tham số là 

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 2 + 3t \hfill \cr
z = 3 - 4t \hfill \cr} \right.\)