Một hình chữ nhật ABCD có AB > AD, diện tích và chu vi của nó theo thứ tự la 2a2 và 6a. Cho hình chữ nhật ABCD quay xung quanh cạnh AB, ta được một hình trụ. Tính thể tích c...

* Hướng dẫn giải

Gọi chiều dài AB = x và chiều rộng AD = y ta có:

Diện tích hình chữ nhật là

\(2{a^2} \Rightarrow xy = 2{a^2}\).

Chu vi hình chữ nhật là 6a

\(\Rightarrow 2\left( {x + y} \right) = 6a \Leftrightarrow x + y = 3a\).

Khi đó x, y là nghiệm của phương trình \({X^2} - 3aX + 2{a^2} = 0\) (định lí Vi-ét đảo).

Ta có:

\(\Delta = {\left( {3a} \right)^2} - 4.2{a^2} = {a^2} \\\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{X_1} = \dfrac{{3a + a}}{2} = 2a\\{X_2} = \dfrac{{3a - a}}{2} = a\end{array} \right.\).

Do \(AB > AD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = 2a\\AD = a\end{array} \right.\).

Quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB ta được hình trụ có chiều cao h = AB = 2a, bán kính đáy R = AD = a.

Vậy thể tích của khối trụ đó là 

\(V = \pi {R^2}h = \pi .{a^2}.2a = 2\pi {a^3}\)