Có tam giác ABC vuông tại A. Tính \( A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C\:\)

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l} \sin B = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow {\sin ^2}B = \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}}\\ \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow {\sin ^2}C = \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}\:\:\\ \tan B = \frac{{AC}}{{AB}};\tan C = \frac{{AB}}{{AC}}\\ \to A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C\: = \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} - \frac{{AC}}{{AB}}.\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} - 1 = \frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} - 1 = 0 \end{array}\)

(vì theo định lý Pytago thì \( A{C^2} + A{B^2} = B{C^2}\))