Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 16cm, tia phân giác AD, đường cao AH. Tính HD.

* Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông ABC  ta có 

\(\begin{array}{l} B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\ \to B{C^2} = {12^2} + {16^2} \Rightarrow B{C^2} = 400 \Rightarrow BC = 20{\mkern 1mu} cm \end{array}\)

Vì AD là phân giác góc A  nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có

\(\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{12}} = \frac{{DC}}{{16}} = \frac{{BD + DC}}{{12 + 16}} = \frac{{BC}}{{28}} = \frac{{20}}{{28}} = \frac{5}{7}\)

Suy ra \( BD = 12.\frac{5}{7} = \frac{{60}}{7}{\mkern 1mu} cm\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có 

\(\begin{array}{l} A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{{12}^2}}}{{20}} = 7,2{\mkern 1mu} cm\\ HD = BD - BH = \frac{{60}}{7} - 7,2 = \frac{{48}}{{35}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm \end{array}\)