Cho tam giác nhọn (ABC ) hai đường cao (AD ) và (BE ) cắt nhau tại (H ). Biết HD:HA = 1:2 Tính tan B.tan C

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\begin{array}{l} \tan B = \frac{{AD}}{{BD}};\tan C = \frac{{AD}}{{CD}}\\ \to \tan B.\tan C = \frac{{A{D^2}}}{{BD.CD}}(1) \end{array}\)

\( \widehat {HBD} = \widehat {CAD}\) (cùng phụ với \( \widehat {ACB}\)) ; \( \widehat {HDB} = \widehat {ADC} = {90^0}\)

Do đó ΔBDH∽ΔADC (g.g), suy ra 

\(\begin{array}{l} \frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{BD}}{{AD}}\\ \to BD.DC = DH.AD (2) \end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra \( \tan B.\tan C = \frac{{A{D^2}}}{{DH.AD}} = \frac{{AD}}{{DH}}(3)\)

Theo giả thiết  \(\begin{array}{l} \frac{{HD}}{{AH}} = \frac{1}{2}\\ \to \frac{{HD}}{{AH + HD}} = \frac{1}{{2 + 1}} \Leftrightarrow \frac{{HD}}{{AD}} = \frac{1}{3}\\ \to AD = 3HD \end{array}\)

Thay vào (3) ta được: \( \tan B.\tan C = \frac{{3HD}}{{DH}} = 3\)