Cho biết \( \tan \alpha = \frac{2}{3}\). Tính giá trị biểu thức: ​\( M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25{{\cos }^3}\alpha }}\)

* Hướng dẫn giải

Vì \( \tan \alpha = \frac{2}{3} \to \cos \alpha \ne 0.\)

Chia cả tử và mẫu của M cho cos³⁡α  ta được

\( M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + 3\frac{{{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{27\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} - 25\frac{{{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}} = \frac{{{{\tan }^3}\alpha + 3}}{{27{{\tan }^3}\alpha - 25}}\)

Thay \( \tan \alpha = \frac{2}{3} \to M = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} + 3}}{{27.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} - 25}} = \frac{{ - 89}}{{459}}.\)