Cho \(a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 2019\).Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(S = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}} + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} \)

* Hướng dẫn giải

Cho \(a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 2019\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của: \(S = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}}  + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}}  + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a và b ta được :

\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge 2ab \Leftrightarrow 3{a^2} + 3{b^2} \ge 6ab \Leftrightarrow 4{a^2} - 4ab + 4{b^2} \ge {a^2} + 2ab + {b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - ab + {b^2} \ge \frac{1}{4}\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) = \frac{1}{4}{\left( {a + b} \right)^2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\) 

Do \(a,b > 0\) nên : \({a^2} + {b^2} - ab \ge 2ab - ab = ab > 0\)

\( \Rightarrow \,\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}}  \ge \frac{1}{2}\left| {a + b} \right| = \frac{1}{2}\left( {a + b} \right)\)

Tương tự ta cũng chứng minh được : \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{b^2} - bc + {c^2}}  \ge \frac{1}{2}\left( {b + c} \right)\\\sqrt {{c^2} - ca + {a^2}}  \ge \frac{1}{2}\left( {c + a} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow S = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}}  + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}}  + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}}  \ge \frac{1}{2}\left( {a + b} \right) + \frac{1}{2}\left( {b + c} \right) + \frac{1}{2}\left( {c + a} \right) = a + b + c = 2019\)

 Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 2019\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 673\)

Vậy \({S_{\min }} = 2019\) đạt được khi \(a = b = c = 673\).

Chọn C.