Với x,y là các số dương thỏa mãn \(x + y = 6.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = {x^2} + {y^2} + \frac{{33}}{{xy}}\)

* Hướng dẫn giải

Với x,y là các số dương thỏa mãn \(x + y = 6\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = {x^2} + {y^2} + \frac{{33}}{{xy}}\)

Với x, y là các số dương ta có: \( - {\left( {x - y} \right)^2} \le 0 \Rightarrow  - {x^2} + 2xy - {y^2} \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} \le 2{x^2} + 2{y^2} \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2} = \frac{{36}}{2} = 18\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} \ge 2xy \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Rightarrow xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \frac{{36}}{4} = 9 \Rightarrow \frac{{33}}{{xy}} \ge \frac{{33}}{9}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)    

Từ  (1) và  (2) \( \Rightarrow P = {x^2} + {y^2} + \frac{{33}}{{xy}} \ge 18 + \frac{{33}}{9} = \frac{{65}}{3}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x + y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 3\)

Vậy \({P_{\min }} = \frac{{65}}{3}\) đạt được khi \(x = y = 3.\)  

Chọn A.