Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{x - 1}} + \frac{{y - 15}}{{y + 2}} = \frac{2}{5}\\\frac{{x - 9}}{{x - 1}} + \frac{{30}}{{y + 2}} = 2\end{array} \right.\)

* Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\y \ne  - 2\end{array} \right.\)

Hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{x - 1}} + 1 - \frac{{17}}{{y + 2}} = \frac{2}{5}\\1 - \frac{8}{{x - 1}} + \frac{{30}}{{y + 2}} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{x - 1}} - \frac{{17}}{{y + 2}} =  - \frac{3}{5}\\\frac{{ - 8}}{{x - 1}} + \frac{{30}}{{y + 2}} = 1\end{array} \right.\) \(\)

Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{x - 1}}\;\;\left( {a \ne 0} \right)\\b = \frac{1}{{y + 2}}\;\;\left( {b \ne 0} \right)\end{array} \right.\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a - 17b =  - \frac{3}{5}}\\{ - 8a + 30b = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{{16}}\;\;\left( {tm} \right)}\\{b = \frac{1}{{20}}\;\;\left( {tm} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{x - 1}} = \frac{1}{{16}}}\\{\frac{1}{{y + 2}} = \frac{1}{{20}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 = 16}\\{y + 2 = 20}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 17\;\;\left( {tm} \right)\\y = 18\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {17;\;18} \right).\)

Chọn C.