Cho \(a > 0,\,\,b > 0\) và \({a^2} + {b^2} = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:\(S = ab + 2\left( {a + b} \right)\)

* Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương \(a > 0,\,\,b > 0\) ta được:

\({a^2} + {b^2} \ge 2ab \Leftrightarrow 1 \ge 2ab \Leftrightarrow ab \le \frac{1}{2}\;\;\;\left( 1 \right)\)    

Ta có: \({a^2} + {b^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab = 1 \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = 1 + 2ab\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \le 1 + 1 = 2 \Leftrightarrow a + b \le \sqrt 2 \;\;\;\left( 2 \right)\)     

Từ (1), (2) ta có: \(S = ab + 2\left( {a + b} \right) \le \frac{1}{2} + 2\sqrt 2 \)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\{a^2} + {b^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức S  là \(\frac{1}{2} + 2\sqrt 2 \)  đạt tại \(a = b = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Chọn A.