Cho hai số thực dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(\frac{x}{2} + \frac{8}{y} \le 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(K = \frac{x}{y} + \frac{{2y}}{x}.\)

* Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

\(2 \ge \frac{x}{2} + \frac{8}{y} \ge 2\sqrt {\frac{x}{2}.\frac{8}{y}}  = 4\sqrt {\frac{x}{y}}  \Rightarrow 0 < \sqrt {\frac{x}{y}}  \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 < \frac{x}{y} \le \frac{1}{4}\)

Đặt \(t = \frac{x}{y}\;\;\left( {0 < t \le \frac{1}{4}} \right),\)  khi đó ta được:

\(K = t + \frac{2}{t} = \left( {32t + \frac{2}{t}} \right) - 31t \ge 2\sqrt {32t.\frac{2}{t}}  - 31.\frac{1}{4} = \frac{{33}}{4}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 32t = \frac{2}{t} \Leftrightarrow {t^2} = \frac{1}{{16}} \Leftrightarrow t = \frac{1}{4}.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}\\\frac{x}{2} = \frac{8}{y}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\xy = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 4x\\4{x^2} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 8\end{array} \right.\;\;\;\left( {do\;\;x,\;y > 0} \right).\)

Vậy \({K_{\min }} = \frac{{33}}{4}\) đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 8\end{array} \right..\)

Chọn B.