Cho \(x \ge 0,{\rm{ }}y \ge 0\) và \(x + y = 1.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}}\)

* Hướng dẫn giải

Cho \(x \ge 0,{\rm{ }}y \ge 0,\,\,x + y = 1.\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{x + 1}} = \frac{{{x^2} + x + {y^2} + y}}{{(y + 1)(x + 1)}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy + x + y + 1}} = \frac{{{{(x + y)}^2} - 2xy + 1}}{{xy + 2}}\\ = \frac{{ - 2xy + 2}}{{xy + 2}} = \frac{{ - 2(xy + 2) + 6}}{{xy + 2}} =  - 2 + \frac{6}{{xy + 2}}.\end{array}\) 

Ta có : \(x \ge 0,\,\,y \ge 0 \Rightarrow xy \ge 0.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow xy + 2 \ge 2 \Rightarrow \frac{1}{{xy + 2}} \le \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \frac{6}{{xy + 2}} \le 3 \Rightarrow  - 2 + \frac{6}{{xy + 2}} \le  - 2 + 3 = 1.\\ \Rightarrow A \le 1.\end{array}\)

Dấu ‘’=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow xy = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\y = 0 \Rightarrow x = 1\end{array} \right..\)

Vậy \(Max\,A = 1\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {1;\,0} \right),\,\,\left( {0;\,1} \right)} \right\}.\)

Chọn B.