Cho phương trình \({x^2} - 2(m + 1)x + {m^2} = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) sao cho \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 4\sqrt {{x_1}.{x_2}} .\)

* Hướng dẫn giải

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} > 0 \Leftrightarrow 2m + 1{\rm{ }} > 0 \Leftrightarrow m >  - \frac{1}{2}\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2}}\end{array}} \right.\)

Theo đề bài ta có :

 \(\begin{array}{l}{x_1}^2 + {x_2}^2 = 4\sqrt {{x_1}.{x_2}}  \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4\sqrt {{x_1}{x_2}} \\ \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 2{m^2} = 4\left| m \right|\\ \Leftrightarrow 2{\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} = 2\left| m \right|\;\;\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 2 = 2\left| m \right|\;\;\left( 1 \right)\end{array}\)

TH1: \(m \ge 0\)

Ta có : \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 2 = 2m \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} + 1 = 0 \Rightarrow \) phương trình vô nghiệm.

TH2: \(m < 0\)

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 2 =  - 2m \Leftrightarrow {m^2} + 6m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 3 + \sqrt 7 \\m =  - 3 - \sqrt 7 \end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện \(m >  - \frac{1}{2}\) ta có \(m =  - 3 + \sqrt 7 \) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy \(m =  - 3 + \sqrt 7 .\)

Chọn D.