1) Giải hệ phương trình 3x + y = 11 và 2x + 3y = 12. 2) Giải phương trình x^2 - x -12 = 0. 3) Cho phương trình

1) Hệ phương trình tương đương với:

\[\left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 3x\\2x + 3\left( {11 - 3x} \right) = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 11 - 3x\\ - 7x = - 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \[\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {3;\,\,2} \right)\]

 2)

Cách 1: Phương trình tương đương với: \[\left( {{x^2} + 3x - 4x} \right) - 12 = 0\]

\[ \Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right) - 4\left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 4\end{array} \right.\]

Cách 2: Ta có \[\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 12} \right) = 49 \Rightarrow \sqrt \Delta   = 7\].

Phương trình có nghiệm là: \[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + 7}}{{2.1}}\\x = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - 7}}{{2.1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 3\end{array} \right.\]

Vậy phương trình có nghiệm là: \[x = - 3;\,\,x = 4\]

 3)

a) Ta có: \[\Delta ' = 4{m^2} - 2\left( {2{m^2} - 1} \right) = 2 > 0,\,\,\forall m\]

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Theo định lý Vi-ét, ta có \[{x_1} + {x_2} = 2m\]

Do đó \[2x_1^2 + 4m{x_2} + 2{m^2} - 9 = \left( {2x_1^2 - 4m{x_1} + 2{m^2} - 1} \right) + 4m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 8\]

\[ = 8{m^2} - 8 = 8\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)\] (do \[2x_1^2 - 4m{x_1} + 2{m^2} - 1 = 0\]).

Theo bài ra, ta có \[\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\].