Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI...

a) Ta có: $\widehat{AMB}$ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra AM ⊥ MB suy ra $\widehat{DMA}$= 90°

Ta cũng có $\widehat{DCA}$= 90° ( DC ⊥ AB).

Xét tứ giác ADMC có: $\widehat{AMB}$ = 90° và $\widehat{DCA}$= 90°

Do đó tứ giác ADMC nội tiếp.

Vậy các điểm A; C; M; D cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét ∆ACK và ∆DCB có:

$\widehat{KAC}=\widehat{CDB}$(tứ giác ADMC nội tiếp)

$\widehat{ACK}=\widehat{DCB}$= 90° (DC ⊥ AB)

Suy ra ∆ACK đồng dạng ∆DCB (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{CA}{CD}\text{=}\frac{CK}{CB}\iff$ CK.CD = CA.CB (đpcm)

c) Xét tam giác DAB có:

AM ⊥ DB (chứng minh trên)

DC ⊥ AB (giả thiết)

Mà DC cắt AM tại K

Suy ra K là giao điểm của hai đường cao trong tam giác DAB suy ra K là trực tâm của tam giác DAB

Ta cũng có $\widehat{ANB}$= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra BN ⊥ AD

Suy ra BN cũng là đường cao của tam giác DAC suy ra BN đi qua K

Dẫn đến 3 điểm B, N, K thẳng hàng.