Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a^2/(a-1)+2b^2/(b-1)+3c^2/(c-1) .

Xét biểu thức  $\frac{m{x}^2}{x-1}$ với x > 1.

$\frac{m{x}^2}{x-1}=m(\frac{x^2}{x-1}-2+2)$

$=m(\frac{x^2-2x+2}{x-1}+2)$

$=m(\frac{x^2-2x+1+1}{x-1}+2)$

$=m(\frac{{(x-1)}^2+1}{x-1}+2)$

$=m(x-1-2+\frac{1}{x-1}+4)$

$=m({\sqrt{x-1}}^2-2\sqrt{x-1}.\frac{1}{\sqrt{x-1}}+\frac{1}{{\sqrt{x-1}}^2})+4m$

$=m{(\sqrt{x-1}-\frac{1}{\sqrt{x-1}})}^2+4m\ge 4m\forall x>1$

Dấu bằng xảy ra khi $\sqrt{x-1}=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\iff x=2$ .

Áp dụng vào biểu thức P ta được:

P ≥ 4.1 + 4.2 + 4.3 = 4 + 8 + 12 = 24 khi a = b = c = 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 24 khi và chỉ khi a = b = c = 2.