Cho các biểu thức: A=(cănx-1)/( cănx+3) và B= căn x/ (căn x-2) với x ≥ 0, x ≠ 4 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 49. b) Rút gọn biểu thức B. c) Tìm x để biểu thức P = A.B ≤

a) Với x = 49 ta có:

$A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}=\frac{\sqrt{49}+1}{\sqrt{49}+3}=\frac{7+1}{7+3}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$.

b) Ta có:

$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{x+2}{x-\sqrt{x}-2}$

$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{x+2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)+(\sqrt{x}-2)}$

$=\frac{x+\sqrt{x}-x-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)}$

$=\frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}$.

c) P = A.B = $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}.\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{\sqrt{x}+3}$

Ta có P ≤ $\frac{1}{x+3}$ Û $$$\frac{1}{\sqrt{x}+3}\le \frac{1}{x+3}$.

Vì $\sqrt{x}+3$ và x + 3 đều lớn hơn 0 ( do x ≥ 0) nên bất đẳng thức trên trở thành.

$\iff x-\sqrt{x}\le 0\iff \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)\le 0$

$\iff x-\sqrt{x}\le 0\iff \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)\le 0$

Mà $\sqrt{x}\ge 0$ dẫn đến $\sqrt{x}-1\le 0\iff \sqrt{x}\le 1\iff x\le 1$.

Kết hợp với điều kiện đề bài thì 0 ≤ x ≤ 1 thỏa mãn biểu thức.