2) Cho hệ phương trình: mx-2y=2m; -2x+y=m+1 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x = y.

1) Điều kiện xác định:

$\{\begin{array}{l}x>0\\ \sqrt{x}-3>0\\ |2y-1|\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ \sqrt{x}\ne 3\\ 2y-1\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ x\ne 9\\ y\ne \frac{1}{2}\end{array}$

Đặt $u=\frac{1}{\sqrt{x}-3}$  và  $v=\frac{1}{|2y-1|}$.

Hệ phương trình trở thành $\{\begin{array}{l}8u+v=5\\ 4u+v=3\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}8u+v=5\\ v=3-4u\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}8u+3-4u=5\\ v=3-4u\end{array}$

Với  $u=\frac{1}{\sqrt{x}-3}=\frac{1}{2}$ $\iff \sqrt{x}-3=2$

$\iff \sqrt{x}=5\iff x=25$ (thỏa mãn)

Với $v=\frac{1}{|2y-1|}$ = 1 $\iff |2y-1|=1$

 $\iff [\begin{array}{l}2y-1=1\\ 2y-1=-1\end{array}\iff [\begin{array}{l}2y=2\\ 2y=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}y=1\\ y=0\end{array}$(thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm (25; 1) và (25; 0).

2) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì: $\frac{m}{-2}\ne \frac{-2}{1}\iff m\ne 4$ .

Gọi (x₀; y₀) là cặp nghiệm của phương trình thỏa mãn x₀ = y₀.

Thay vào hệ phương trình ta được: $\{\begin{array}{l}m{y}_0-2y_0=2m\\ -2y_0+y_0=m+1\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}m{y}_0-2y_0=2m\\ y_0=-m-1\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}m(-m-1)-2(-m-1)=2m\left(1\right)\\ y_0=-m-1\end{array}$

(1) Û −m² – m + 2m + 2 = 2m

Û m² + m – 2 = 0

Û m² + 2m – m – 2 = 0

Û m(m + 2) – (m + 2) = 0

Û (m – 1)(m + 2) = 0

Û  $[\begin{array}{l}m=1\\ m=-2\end{array}$(thỏa mãn)

Vậy m = 1 hoặc m = −2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x = y.