Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (M, N là các tiếp điểm). 1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp. 2) Trên cung nhỏ MN lấy đi...

1) Ta có:

$\widehat{OMA}$= 90° (AM là tiếp tuyến của (O))

$\widehat{ONA}$= 90° (AN là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác ABOC có $\widehat{OMA}$ + $\widehat{ONA}$= 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp.

2) Xét ∆AMB và ∆ACM có:

$\widehat{MAC}$là góc chung

 $\widehat{MCB}=\widehat{BMA}$(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung MB).

Suy ra ∆AMB  ∆ACM (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{AM}{AC}=\frac{AB}{AM}\iff A{M}^2=AC.AB$  (điều phải chứng minh)

3) Ta có OM = ON = R.

MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra OA là trung trực của MN suy ra OA ^ MN.

Xét ∆OMA vuông tại M có đường cao MH ta có:

MA² = AH.AO $\iff \frac{AB}{AO}=\frac{AH}{AC}$

Mà MA² = AC.AB (chứng minh trên)

Suy ra AH.AO = AC.AB

∆ABH và ∆AOC có:

 $\widehat{OAC}$là góc chung

$\frac{AB}{AO}=\frac{AH}{AC}$(chứng minh trên)

Do đó ∆ABH  ∆AOC (c.g.c)

Suy ra $\widehat{AHB}=\widehat{ACO}$  (hai góc tương ứng).