Biết rằng m, n là các số thực dương để phương trình ẩn x sau có nghiệm: x^2 – 4x + n(m – 1) + 5 = 0.

* Hướng dẫn giải

Ta có: ∆’ = 2² – [n(m – 1) + 5] = −nm + n −1.

Do m, n là các số thực dương để phương trình có nghiệm nên ta có:

∆’ = −nm + n – 1 ≥ 0

Û n(1 – m) ≥ 1

Mà n > 0 nên 1 – m > 0 $\iff m<1$ 

Cùng với điều kiện đề bài 0 < m < 1 $\iff$ 1 > 1 – m > 0

Ta có n(1 – m) ≥ 1 $\iff n\ge \frac{1}{1-m}$

mà 1 > 1 – m $\iff \frac{1}{1-m}>1$

nên n > 1

Ta có $P=\frac{{(m+n)}^2}{mn}=\frac{m^2+2mn+n^2}{mn}=\frac{m}{n}+\frac{n}{m}+2$

Đặt a = $\frac{n}{m}$và b = n(1 − m) (b ≥ 1)

$\frac{b}{1-m}$ 

Do b ≥ 1, 0 < m < 1 và 1 > 1 – m > 0 nên suy ra a > 1.

Xét P = $a+\frac{1}{a}+2$với a > 1 biểu thức này nhỏ nhất khi a nhỏ nhất.

Do a $=\frac{b}{m(1-m)}$ nhỏ nhất khi b nhỏ nhất và m(1− m) lớn nhất

b nhỏ nhất = 1

Áp dụng bất đẳng thức Cosi m(1−m) $\le {\left(\frac{m+1-m}{2}\right)}^2=\mathrm{0,25}$

Vậy a nhỏ nhất bằng $\frac{1}{\mathrm{0,25}}=4$

Khi đó:

P_min = $4+\frac{1}{4}+2$ = 6,25

Khi m = 0,5 và n = 2.