Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại E (E nằm giữa A và O; E không trùng A, không trùng O). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung MB nhỏ hơn cung MC....

1) Ta có: $\widehat{FEB}$= 90° (CE ⊥ AB)

$\widehat{FMB}$= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác BMFE có $\widehat{FEB}$+$\widehat{FMB}$= 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác BMFE nội tiếp.

2) Ta có $\widehat{AMB}$= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra AM ⊥ MB

Xét tam giác AKB có:

KE ⊥ AB (giả thiết)

AM ⊥ KB (chứng minh trên)

Mà KE cắt AM tại F suy ra F là trực tâm của ∆AKB.

Suy ra BF ⊥ AK.

Xét ∆ AFE và ∆ KBE có:

$\widehat{AEF}\text{=}\widehat{KEB}$= 90° (KE ⊥ AB)

$\widehat{AFE}\text{=}\widehat{KBE}$ (tứ giác BMFE nội tiếp)

Suy ra ∆AFE  ∆KBE (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{AE}{KE}=\frac{FE}{BE}\iff AE.BE=KE.EF$ (điều phải chứng minh)

3) Xét tam giác AOM có:

OA = OM = R suy ra ∆AOM cân tại O suy ra $\widehat{OMA}=\widehat{OAM}$ (1)

Ta có $\widehat{AMO}+\widehat{IMF}=\widehat{IMO}=90°\widehat{AMO}+\widehat{IMF}=\widehat{IMO}=90°$ (MI là tiếp tuyến của (O))

$\widehat{KMI}+\widehat{IMF}=\widehat{KMF}=90°$ (KM ⊥ FM)

Suy ra $\widehat{AMO}=\widehat{KMI}$ (2)

Mà ∆AFE  ∆KBE suy ra $\widehat{OAM}=\widehat{IKM}$ (hai góc tương ứng) (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra $\widehat{IMK}=\widehat{IKM}$

Suy ra tam giác IMK cân tại I suy ra IM = IK (4)

Xét ∆KMF vuông tại M ta có:

$\widehat{FKM}+\widehat{KFM}=90°$

$\widehat{KMI}+\widehat{IMF}=90°$

Mà $\widehat{IMK}=\widehat{IKM}$ (chứng minh trên)

Nên $\widehat{IMF}=\widehat{IFM}$ suy ra ∆IMF cân tại I suy ra IM = IF (5)

Từ (4) và (5) suy ra KI = IF (= IM) (điều phải chứng minh)