Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x.y = 1. Chứng minh rằng 4/ (x+y)^2+x^2+y^2>=3 . Đẳng thức xảy ra khi nào?

Gọi A = $\frac{4}{{(x+y)}^2}+x^2+y^2$

$=\frac{4}{{(x+y)}^2}+{(x+y)}^2-2xy$

$=\frac{4}{{(x+y)}^2}+\frac{{(x+y)}^2}{4}+\frac{3}{4}(x^2+y^2)+\frac{3}{4}.2xy-2$

$=\frac{4}{{(x+y)}^2}+\frac{{(x+y)}^2}{4}+\frac{3}{4}(x^2+y^2)+\frac{3}{2}-2$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

$A\ge 2\sqrt{\frac{4}{{(x+y)}^2}\frac{{(x+y)}^2}{4}}+\frac{3}{4}.2\sqrt{x^2{y}^2}+\frac{3}{2}-2$

$\iff A\ge 2+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-2=3$ (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1.

Vậy đẳng thức xảy ra khi x = y = 1.