Cho đường tròn (O; R). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) tại D (D khác B)...

a) Ta có $\widehat{OBA}$= 90° (AB là tiếp tuyến của (O))

$\widehat{OCA}$= 90° (AC là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác ABOC có $\widehat{OBA}$+ $\widehat{OCA}$= 90° + 90° = 180°

Do đó tứ giác ABOC nội tiếp.

b) Xét ∆ABE và ∆ADB có:

$\widehat{BAD}$ là góc chung

$\widehat{BDA}\text{=}\widehat{EBA}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BE)

Suy ra ∆ABE đồng dạng ∆ADB (g.g)

Từ đó suy ra $\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}\iff A{B}^2=AD.AE$ (điều phải chứng minh)

c) Xét ∆OBA và ∆OCA có:

OA = OB = R

AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

AO là cạnh chung

Suy ra ∆OBA = ∆OCA (c.c.c)

Xét ∆AOB vuông tại B có AO = 2R, OB = R.

Suy ra AB = $\sqrt{O{A}^2-O{B}^2}=\sqrt{4R^2-R{}^2}=\sqrt{3}R$

Ta có cos($\widehat{BOA}$) $=\frac{OB}{OA}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$.

Suy ra $\widehat{BOA}=60°$.

S_AOB = $\frac{1}{2}AB.OB=\frac{1}{2}.R.\sqrt{3}R=\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^2$

S_ABOC = S_AOB + S_AOC = 2S_AOB = $2.\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^2=\sqrt{3}{R}^2$

Ta có: OA là phân giác của góc $\widehat{BOC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra $\widehat{BOC}=2.\widehat{BOA}=2.60°=120°$

Khi đó,

Số đo $\stackrel{⌢}{BC}$ nhỏ = $\widehat{BOC}=120°$.

Số đo $\stackrel{⌢}{BC}$ lớn = 360° − số đo $\stackrel{⌢}{BC}$ nhỏ = 360° −120° = 240°.

$\Rightarrow \widehat{BEC}=\frac{1}{2}$số đo $\stackrel{⌢}{BC}$ lớn $=\frac{1}{2}.240°=120°$