Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức y = x/(x^2+1)

Ta có $y=\frac{x}{x^2+1}$

$\Rightarrow y-\mathrm{0,5}=\frac{x}{x^2+1}-\mathrm{0,5}$

$=\frac{-\mathrm{0,5}(x^2-2x+1)}{x^2+1}$$=-\mathrm{0,5.}\frac{{(x-1)}^2}{x^2+1}\le 0$ với mọi x

$\Rightarrow$ y ≤ 0,5 với mọi x.

Ta lại có:

$\Rightarrow y+\mathrm{0,5}=\frac{x}{x^2+1}+\mathrm{0,5}$

$=\frac{\mathrm{0,5}(x^2+2x+1)}{x^2+1}$

$=\mathrm{0,5.}\frac{{(x+1)}^2}{x^2+1}\ge 0$ với mọi x

$\Rightarrow$ y ≥ −0,5 với mọi x.

Vậy giá trị lớn nhất của y là 0,5 và giá trị nhỏ nhất của y là −0,5.