Trang chủ
Đề thi & kiểm tra
Lớp 9
Toán học
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán Sở GD&ĐT Bình Phước năm 2018
Cho Parabol \((P):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \((d):y =...
Cho Parabol \((P):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \((d):y = \left( {m + 1} \right)x - {m^2} - \frac{1}{2}\) (m là tham số).
Câu hỏi :
Cho Parabol \((P):y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \((d):y = \left( {m + 1} \right)x - {m^2} - \frac{1}{2}\) (m là tham số). Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm \(A({x_1};{y_1}),B({x_2};{y_2})\) sao cho biểu thức \(T = {y_1} + {y_2} - {x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
* Đáp án
* Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{1}{2}{x^2} = \left( {m + 1} \right)x - {m^2} - \frac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2{m^2} + 1 = 0{\rm{ }}(1)\)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm \(A({x_1};{y_1}),B({x_2};{y_2})\) thì phương trình (1) có hai nghiệm
\(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 2{m^2} - 1 = 2m - {m^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2.\)
Vậy với \(0 \le m \le 2\) thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm \(A({x_1};{y_1}),B({x_2};{y_2})\)
Khi đó theo định lý Viet thì \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\
{x_1}{x_2} = 2{m^2} + 1
\end{array} \right.\)
{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\\
{x_1}{x_2} = 2{m^2} + 1
\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{y_1} = (m + 1){x_1} - {m^2} - \frac{1}{2}\\
{y_1} = (m + 1){x_2} - {m^2} - \frac{1}{2}
\end{array}\)
{y_1} = (m + 1){x_1} - {m^2} - \frac{1}{2}\\
{y_1} = (m + 1){x_2} - {m^2} - \frac{1}{2}
\end{array}\)
Do đó:
\(\begin{array}{l}
T = {y_1} + {y_2} - {x_1}{x_2} = \left( {m + 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{m^2} - 1 - {x_1}{x_2}\\
= 2{\left( {m + 1} \right)^2} - 4{m^2} - 2 = - 2{m^2} + 4m = 2 - 2{\left( {m - 1} \right)^2},\forall m \in \left[ {0,2} \right].
\end{array}\)
T = {y_1} + {y_2} - {x_1}{x_2} = \left( {m + 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2{m^2} - 1 - {x_1}{x_2}\\
= 2{\left( {m + 1} \right)^2} - 4{m^2} - 2 = - 2{m^2} + 4m = 2 - 2{\left( {m - 1} \right)^2},\forall m \in \left[ {0,2} \right].
\end{array}\)
Đặt \(m \in \left[ {0,2} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1,1} \right] \Rightarrow {t^2} \in \left[ {0,1} \right].\)
Nên \(T = 2 - 2{\left( {m - 1} \right)^2} = 2 - 2{t^2} \ge 0.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 0 đạt được khi \({t^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow m = 0;m = 2.\)
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán Sở GD&ĐT Bình Phước năm 2018
Số câu hỏi: 5
Copyright © 2021 HOCTAP247