1) Trong cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P):

2) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì:

$\frac{m}{1}\ne \frac{1}{m}\iff m^2\ne 1\iff m\ne \pm 1$

Giải hệ phương trình với m là tham số

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}mx+y=2m\\ x+my=m+1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=m+1-my\\ m(m+1-my)+y=2m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=m+1-my\\ m^2+m-m^{2}y+y=2m\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=m+1-my\\ y(1-m^2)=m-m^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=m+1-my\\ y=\frac{m-m^2}{1-m^2}=\frac{m\left(1-m\right)}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}=\frac{m}{1+m}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=m+1-m.\frac{m}{1+m}\\ y=\frac{m}{1+m}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để hệ có nghiệm x, y nguyên thì

$\left\{\begin{array}{l}x=m+1-m.\frac{m}{1+m}\\ y=\frac{m}{1+m}\end{array}\right.$  nguyên $\iff \frac{m}{1+m}$nguyên

Xét $\frac{m}{1+m}=\frac{m+1-1}{m+1}=1-\frac{1}{m+1}$

Để $\frac{m}{1+m}$nguyên thì m + 1 bằng các giá trị {−1; 1}.

Do đó m ∈ {−2; 0} (thỏa).

Vậy m ∈ {−2; 0} thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất nguyên.