Cho 1 ≤ x, y, z ≤ 2 và x2 + y2 + z2 = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

Xét S² = ${\left(1.\sqrt{4-x^2}+1.\sqrt{4-y^2}+1.\sqrt{4-z^2}\right)}^2$

$$\begin{gathered} {\le }^{Bunhia}\left(1^2+1^2+1^2\right)\left({\sqrt{4-x^2}}^2+{\sqrt{4-y^2}}^2+{\sqrt{4-z^2}}^2\right) \\ {\le }^{Bunhia}\left(1^2+1^2+1^2\right)\left({\sqrt{4-x^2}}^2+{\sqrt{4-y^2}}^2+{\sqrt{4-z^2}}^2\right) \\ =3.\left[4+4+4-\left(x^2+y^2+z^2\right)\right]=3.\left(12-6\right)=18 \\ \Rightarrow S\le \sqrt{18}=3\sqrt{2} \end{gathered}$$

Vậy Max S $=3\sqrt{2}$ 

Dấu bằng xảy khi $\frac{\sqrt{4-x^2}}{1}=\frac{\sqrt{4-y^2}}{1}=\frac{\sqrt{4-z^2}}{1}\iff x=y=z$.

Mà x² + y² + z² = 6 nên x = y = z = $\sqrt{2}$.

Do 1 ≤ x ≤ 2 Û 1 ≤ x² ≤ 4 Û 3 ≥ 4 – x² ≥ 0 .

Tương tự ta có:$1\ge \frac{4-y^2}{3}\ge 0, 1\ge \frac{4-z^2}{3}\ge 0$ , .

Áp dụng tính chất: 0 ≤ a ≤ 1 thì $\sqrt{a}\ge a$.

Ta có: $S=\sqrt{3}\left(\sqrt{\frac{4-x^2}{3}}+\sqrt{\frac{4-y^2}{3}}+\sqrt{\frac{4-z^2}{3}}\right)$

$$\begin{gathered} \ge \sqrt{3}\left(\frac{4-x^2}{3}+\frac{4-y^2}{3}+\frac{4-z^2}{3}\right) \\ =\sqrt{3}\left(\frac{12-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}\right)=2\sqrt{3} \end{gathered}$$

.

Vậy Min S = $2\sqrt{3}$khi (a; b; c) là hoán vị (2; 1; 1).