Một tàu ngầm đang ở trên mặt biển thì lặn

Câu hỏi :

Câu 1:

Một tàu ngầm đang ở trên mặt biển thì lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc 20°. Hỏi nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được 200m thì nó ở độ sâu bao nhiêu mét so với mặt nước biển?

Câu 2: Cho (O; R) đường kính AB cố định. Lấy I thuộc OB sao cho $BI=\frac{2}{3}OB$. Dây MN ⊥ AB tại I. Điểm F chuyển động trên cung nhỏ AM (F ≠ A, F ≠ M). Tia AF cắt MN tại K. Nối BF cắt MN tại H.

a) Chứng minh: Tứ giác AFHI nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh: AF.AK =AB.AI $=\frac{8R^2}{3}$.

c) Chứng minh $\widehat{KAI}=\widehat{BHI}$ từ đó chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆BHK luôn đi qua một điểm cố định khi F chuyển động trên cung nhỏ AM.

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Câu 1:

Ta có theo đề bài thì AC = 200m.

Độ sâu so với mặt nước biển là BC.

Xét tam giác ABC vuông tại B.

$\sin \widehat{BAC}=\frac{BC}{AC}$

Suy ra  BC = AC. $\sin \widehat{BAC}$ = 200 . sin 20° ≈ 68,4 (m).

Vậy độ sâu so với mặt nước biển là 68,4 m

Câu 2:

a) Ta có \$\widehat{AFH}=90°$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\widehat{AFH}=90°$(AB ⊥ MN)

Xét tứ giác AFHI có

$\widehat{AFH}+\widehat{AIH}=90+90=180°$

Suy ra tứ giác AFIH nội tiếp.

b) Xét ∆ AKI và ∆ ABF có:

$\widehat{KAB}$ là góc chung

$\widehat{AFB}\text{=}\widehat{AIK}=90°$(chứng minh trên)

Suy ra ∆ AKI  ∆ ABF (g.g)

Từ đó suy ra$\frac{AK}{AB}=\frac{AI}{AF}\iff AK.AF=AB.AI$ (1)

Ta có AB = 2R.

AI = AB – IB = 2R $-\frac{2}{3}R$=$\frac{4}{3}R$

Suy ra AB.AI = 2R. $\frac{4}{3}R=\frac{8}{3}{R}^2$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

c) Tứ giác AFHI nội tiếp nên $\widehat{KAI}=\widehat{BHI}$.

Đường tròn ngoại tiếp ∆BHK luôn đi qua điểm B cố định