Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1. Chứng minh rằng:

* Hướng dẫn giải

Đặt $\sqrt[4]{a}=x,\sqrt[4]{b}=y,\sqrt[4]{c}=z$=> xyz = 1, x, y, z > 0

Suy ra ta cần chứng minh

$A=\frac{1}{x^2+2y^2+3}+\frac{1}{y^2+2z^2+3}+\frac{1}{z{}^2+2x^2+3}\le \frac{1}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

x² + 2y² + 3 = (x² + y²) + (y² + 1) + 2 ≥ 2xy + 2y + 2 = 2(xy + y + 1)

$\Rightarrow \frac{1}{x^2+2y^2+3}\le \frac{1}{2}\frac{1}{xy+y+1}$

Tương tự ta được:

$$\begin{gathered} \frac{1}{y^2+2z^2+3}\le \frac{1}{2}\frac{1}{yz+z+1} \\ \frac{1}{z^2+2x^2+3}\le \frac{1}{2}\frac{1}{zx+x+1} \end{gathered}$$

Cộng vế theo vế ta được:

$A\le \frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right)$

Xét vế phải ta có

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{zx+x+1}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{xyz}{yz+z+xyz}+\frac{xyz}{zx+x+xyz}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{xy}{y+1+xy}+\frac{yz}{z+1+yz}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{xy}{y+1+xy}+\frac{yz}{z+xyz+yz}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{xy}{y+1+xy}+\frac{y}{1+xy+y}\right) \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{1+xy+y}{xy+y+1}\right)=\frac{1}{2} \end{gathered}$$