a)   Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 174m.

* Hướng dẫn giải

a) Gọi chiều rộng và chiều dài ban đầu của mảnh vườn lần lượt là x(m) và y(m). Điều kiện: 0 < x < y < 87; 2 < y.

Vì chu vi mảnh vườn bằng 174m nên ta có phương trình:

\(2(x + y) = 174 \Leftrightarrow x + y = 87\)                                                           (1)

Diện tích ban đầu của mảnh vườn là xy (m²)

Diện tích mảnh vườn nếu tăng chiều rộng 5m và giảm chiều dài 2m là (x + 5)(y – 2) (m²)

Ta có phương trình:

\((x + 5)(y - 2) = xy + 215 \Leftrightarrow  - 2x + 5y = 225\)                                (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 87\\
 - 2x + 5y = 225
\end{array} \right.\)

Giải hệ được \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 30\\
y = 57
\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy chiều rộng và chiều dài ban đầu của mảnh vườn lần lượt là 30m 

b) \(5{x^4} - 2{x^2} - 3{x^2}\sqrt {{x^2} + 2}  = 4\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 5{x^4} - 10{x^2} + 2{x^2} - 4 - 3{x^2}\sqrt {{x^2} + 2}  + 6{x^2} = 0\\
 \Leftrightarrow 5{x^2}({x^2} - 2) + 2({x^2} - 2) - 3{x^2}(\sqrt {{x^2} + 2}  - 2) = 0\\
 \Leftrightarrow ({x^2} - 2)(5{x^2} + 2) - 3{x^2}(\sqrt {{x^2} + 2}  - 2) = 0\\
 \Leftrightarrow ({x^2} + 2 - 4)(5{x^2} + 2) - 3{x^2}(\sqrt {{x^2} + 2}  - 2) = 0\\
 \Leftrightarrow (\sqrt {{x^2} + 2}  + 2)(\sqrt {{x^2} + 2}  - 2)(5{x^2} + 2) - 3{x^2}(\sqrt {{x^2} + 2}  - 2) = 0\\
 \Leftrightarrow (\sqrt {{x^2} + 2}  - 2)\left[ {(\sqrt {{x^2} + 2}  + 2)(5{x^2} + 2) - 3{x^2}} \right] = 0\\
 \Leftrightarrow (\sqrt {{x^2} + 2}  - 2)\left[ {(\sqrt {{x^2} + 2}  + 2)(2{x^2} + 2) + 3{x^2}(\sqrt {{x^2} + 2}  + 1)} \right] = 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2}  - 2 = 0{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}(\sqrt {{x^2} + 2}  + 2)(2{x^2} + 2) + 3{x^2}(\sqrt {{x^2} + 2}  + 1) > 0} \right)\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2}  = 2\\
 \Leftrightarrow {x^2} + 2 = 4\\
 \Leftrightarrow {x^2} = 2\\
 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 
\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình (1) là \(x =  \pm \sqrt 2 \)