Cho a > 0, b > 0 và \(a + b \le 1\).

* Hướng dẫn giải

Với a, b > 0 áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{{a^2}}}{{a + ab}} + \frac{4}{9}(a + ab) \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{a + ab}} \cdot \frac{4}{9}(a + ab)}  = \frac{4}{3}a\\
 \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{a + ab}} \ge \frac{4}{3}a - \frac{4}{9}(a + ab) \Rightarrow \frac{a}{{1 + b}} \ge \frac{8}{9}a - \frac{4}{9}ab
\end{array}\)

Tương tự, ta có: \(\frac{b}{{1 + a}} \ge \frac{8}{9}b - \frac{4}{9}ab\)

\( \Rightarrow S \ge \frac{8}{9}(a + b) - \frac{8}{9}ab + \frac{1}{{a + b}} = \frac{8}{9}\left( {a + b + \frac{1}{{a + b}}} \right) - \frac{8}{9}ab + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{a + b}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(a + b + \frac{1}{{a + b}} \ge 2\sqrt {(a + b) \cdot \frac{1}{{a + b}}}  = 2\)

Vì \(a + b \le 1\) nên 

\({(a + b)^2} \ge 4ab \Rightarrow ab \le \frac{1}{4}{(a + b)^2} \le \frac{1}{4}\) và \(\frac{1}{{a + b}} \ge 1\)

\( \Rightarrow S \ge \frac{8}{9} \cdot 2 - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{5}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}\)

Vậy \(\min S = \frac{5}{3}\) khi \(a = b = \frac{1}{2}\)