Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài tại A (R > R'). Vẽ các

Ta có: $DE\perp BC$ tại K nên K là trung điểm $DE\Rightarrow$Tứ giác BDCE có hai dường chéo BC, DE vuông góc nhau tại trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow BDCE$ là hình thoi

Ta có: $\widehat{DBC}=\widehat{BCE}$ (so le trong ) (1)

$\widehat{BDA}=\widehat{AIC}\left(={90}^0\right)\Rightarrow BA,CA$ là đường kính (2)

Từ (1), (2) suy ra $\Delta BDA$ và $\Delta CIA$ có:

$\widehat{DBC}=\widehat{BDA}=\widehat{BCE}+\widehat{AIC}\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{CAI}$ mà hai góc ở vị trí đối đỉnh và B, K, C thẳng hàng nên D, A, I thẳng hàng

$\Delta DIE$ vuông tại I có IK trung tuyến $\Rightarrow DK=KI\Rightarrow \widehat{KID}=\widehat{KDI}\left(3\right)$

Mà $\widehat{KDI}=\widehat{KCE}$ (cùng phụ $\widehat{KEC})\left(4\right)$

Lại có $\widehat{KCE}=\widehat{O\text{'}IC}$ ($\Delta O\text{'}IC$ cân tại O') (5)

Từ (3), (4), (5)$\Rightarrow \widehat{KID}=\widehat{O\text{'}IC}$

$\Rightarrow \widehat{KID}+\widehat{DIO\text{'}}=\widehat{O\text{'}IC}+\widehat{O\text{'}IA}\Rightarrow \widehat{KIO\text{'}}=\widehat{AIC}={90}^0$

Và $I\in \left(O\text{'}\right)\Rightarrow KI$ là tiếp tuyến của (O')