Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh

Bất đẳng thức cần chứng minh $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\le 1$

$\iff \left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(a+2\right)\left(c+2\right)+\left(a+2\right)\left(b+2\right)\le \left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)$

$\iff ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12\le abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8$

$\iff ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12\le 1+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8$

$\iff ab+bc+ca\ge 3$

Thật vậy áp dụng bất đẳng thức CauChy cho 3 số dương ta có $\iff ab+bc+ca\ge 3\sqrt[3]{{\left(abc\right)}^2}\ge 3$.

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.

Hoàn tất chứng minh.