Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab Chứng minh rằng:

Từ a + b = 4ab $\Rightarrow 4ab\ge 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\ge \frac{1}{4}$ .

Chứng minh được BĐT: Với x, y > 0 ta có $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge \frac{{\left(a+b\right)}^2}{x+y}$ (*) .

Áp dụng (*) ta có

$\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}=\frac{a^2}{4a{b}^2+a}+\frac{b^2}{4a^{2}b+b}\ge \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4ab(a+b)+(a+b)}$

= $\frac{a+b}{4ab+1}=\frac{4ab}{4ab+1}=1-\frac{1}{4ab+1}\ge \frac{1}{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$ .