Chứng minh 1/căn bậc hai của 2 + 1/căn bậc hai của 3 + ... + 1/căn bậc hai của 400 < 38

* Hướng dẫn giải

$$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{400}}=2\left(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{400}+\sqrt{400}}\right) \\ <2\left(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{400}+\sqrt{399}}\right) \end{gathered}$$

Ta có $2\left(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{400}+\sqrt{399}}\right)$

$=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\mathrm{...}+\sqrt{400}-\sqrt{399}\right)$

$=2\left(-\sqrt{1}+\sqrt{400}\right)=38$

Vậy $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\sqrt{400}}<38$