Cho ba số thực không âm a, b, c và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: a + 2b + c

Ta có $a+2b+c\ge 4(1-a)(1-b)(1-c)\Rightarrow a+2b+c\ge 4(b+c)(a+c)(a+b)$

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có

$a+b+b+c\ge 2\sqrt{(a+b)(b+c)}\Rightarrow {(a+2b+c)}^2\ge 4(a+b)(b+c)\Rightarrow {(a+2b+c)}^2(a+c)\ge 4(a+b)(b+c)(a+c)$ 

Áp dụng bất đẳng thức cô si

$\frac{a+2b+c+a+c}{2}\ge \sqrt{(a+2b+c)(a+c)}\Rightarrow \frac{2(a+b+c)}{2}\ge \sqrt{(a+2b+c)(a+c)}\Rightarrow 1\ge \sqrt{(a+2b+c)(a+c)}$ $\Rightarrow 1\ge (a+2b+c)(a+c)\Rightarrow a+2b+c\ge {(a+2b+c)}^2(a+c)$

$\Rightarrow a+2b+c\ge 4(a+b)(a+c)(b+c)$