Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z nhỏ hơn hoặc bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có $xy+yz+zx\le \frac{{\left(x+y+z\right)}^3}{3}\le \frac{1}{3}$ nên$\frac{2017}{xy+yz+zx}\ge 6051$

Áp dụng BĐT $\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge 9$ , ta có:

$\begin{array}{l}\left[(x^2+y^2+z^2)+(xy+yz+zx)+(xy+yz+zx)\right]\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}\right)\ge 9\\ \iff (x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}\right)\ge 9\end{array}$

Hay $\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2}{xy+yz+zx}\ge 9$

Từ đó ta có: $P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{2017}{xy+yz+zx}\ge 9+6051=6060$