Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x + y nhỏ hơn hoặc bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta lại có: $\frac{xy+y+8}{20}=\frac{y(x+1)+8}{20}\le \frac{\frac{{\left(x+y+1\right)}^2}{4}+8}{20}\le \frac{3}{5}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}P\ge \left(\frac{1}{5xy}+\frac{xy}{20}\right)+\left(\frac{5}{y+8}+\frac{y+8}{20}\right)-\frac{xy+y+8}{20}\\ \iff P\ge \frac{1}{5}+1-\frac{3}{5}\iff P\ge \frac{3}{5}\end{array}$

Vậy $P_{Min}=\frac{3}{5}\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$